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题目

思路1（数学公式）

• 利用斐波那契数列的公式即可

代码

class Solution {    public int climbStairs(int n) {        double sqrt_5 = Math.sqrt(5);        double fib_n = Math.pow((1+sqrt_5) / 2, n+1) - Math.pow((1-sqrt_5) / 2, n+1);        return (int)(fib_n / sqrt_5);    }}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(logN)\)，pow 方法将会用去 O(logN) 的时间
• 空间复杂度：\(O(1)\)

思路2（带备忘录的递归）

• 如果直接暴力递归的话，通过不了

• 到达第n层的方法数是第n-1层的路径加上n-2层路（自顶向下）

• 因此我们构建一个树，但是会发现这个树中有很多地方都重复了，明明已经计算过了一遍却还要再计算一遍，所以我们可以用一个备忘录把计算过的存储道备忘录中，再次遇到时，返回这个数即可

代码

class Solution {    public int climbStairs(int n) {        double sqrt_5 = Math.sqrt(5);        double fib_n = Math.pow((1+sqrt_5) / 2, n+1) - Math.pow((1-sqrt_5) / 2, n+1);        return (int)(fib_n / sqrt_5);    }}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\)，其中 N 为数组长度
• 空间复杂度：\(O(N)\)，其中 N 为数组长度

思路3（动态规划）

• 使用动态规划，自底向上的思想

• 刚开始用的是一维数组，即DP表，可以得到状态转移方程F(N) = F(N-1) + F(N-2)。

• 把 F(n) 想做一个状态 n，这个状态 n 是由状态 n - 1 和状态 n - 2 相加转移而来，这就叫状态转移

• 根据斐波那契数列的状态转移方程，我们可以知道，当前的状态只和 n-1 和 n-2 有关，因此我们仅仅需要存储前两个变量，那么当前的结果就出来了，所以，空间复杂度可以优化道\(O(1)\)

代码

/* 用一维数组的DPclass Solution {    public int climbStairs(int n) {        int[] dp = new int[50];        dp[1] = 1;        dp[2] = 2;        for (int i = 3; i <= n; i++) {            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];        }        return dp[n];    }}*/class Solution {    public int climbStairs(int n) {        int p = 0;        int q = 0;        int r = 1;        for (int i = 0; i < n; i++) {            p = q;            q = r;            r = p + q;        }        return r;    }}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\)，其中 N 为数组长度
• 空间复杂度：\(O(1)\)

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